Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}=（3sinx.\frac{\sqrt{3}}{2}cosx），\overrightarrow{n}=（cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx，3cosx）$，函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（须列表）
（Ⅱ）该函数的图象由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=3sinxcosx-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cos²x=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（3分）
令X=2x+$\frac{π}{3}$，则f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin X．
列表：

x	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
X	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{7π}{3}$
y=sinX	0	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）	0	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$	2	0	-2	0	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

…（6分）
描点画图：
 …（8分）
（2）法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；再把y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；最后把y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．
法二：将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到y=sin 2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；再将y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），即得到y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．…（12分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，考查了“五点法”作图，属于中档题．