Question

14．设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是两个非零的平面向量，给出下列说法
①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$；②$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；③若存在实数λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline{b}$，则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a|}+|\overrightarrow{b}|$；④若$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$．其中说法正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$，即可判断出正误；
②利用数量积的定义即可判断出正误；
③若存在实数λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline{b}$，则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$|λ\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}|$=$|λ+1||\overrightarrow{b}|$，$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$=$|λ\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$=$（|λ|+1）|\overrightarrow{b}|$，即可判断出正误；
④由于$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$≤$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$，当且仅当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线时$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，即可判断出正误．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$，正确；
②$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$|$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$|≠$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，因此不正确；
③若存在实数λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline{b}$，则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$|λ\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}|$=$|λ+1||\overrightarrow{b}|$，$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$=$|λ\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$=$（|λ|+1）|\overrightarrow{b}|$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$≠$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$，因此不正确；
④∵$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$≤$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$，当且仅当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线时$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，因此存在实数λ，使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，正确．
其中说法正确的个数是2．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积运算及其性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．