Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最小值及曲线在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最小值为；切线方程为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先求得函数的定义与导函数，然后根据导函数与0的关系得到函数的单调性，由此求得函数的最小值，再根据导数的几何意义求得切线方程的斜率，从而求得切线的方程；（2）首先将问题转化为在上恒成立，然后设，从而通过求导研究函数的单调性，并求得其最大值，进而求得的取值范围．

试题解析：（1）函数的定义域为，

，

令，得；令，得；令，得；

故函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，即切线的斜率为2，

故所求切线方程为，即，

化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）不等式恒成立等价于在上恒成立，可得在上恒成立，

设，则，

令，得，或（舍去）

当时，；当时，，

当变化时变化情况如下表：

		1
		0
	单调递增	-2	单调递减

所以当时，取得最大值，，所以，

所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分