题目内容
函数f（x）（x∈R）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导数f′（x）＜1，则不等式f（x2）＜x2+1中x的取值范围为 ．
考点：导数的运算
专题：导数的概念及应用
分析：根据f（x）在R上的导数满足f′（x）＜1，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，依据函数的单调性，求出解集即可．
解答：
解：根据f（x）在R上的导数满足f′（x）＜1，
①当f′（x）＜0时得到函数f（x）单调递减，
即当x2＜1时，得到f（x2）＞f（1）=2即x2+1＞2，解得x2＞1，矛盾；
②当0＜f′（x）＜1时得到函数f（x）单调递增，
即当x2＞1时，得到f（x2）＞f（1）=2即x2+1＞2，解得x2＞1，所以x＞1或x＜-1
综上，不等式f（x2）＜x2+1的解集为{x|x＞1或x＜-1}
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）
①当f′（x）＜0时得到函数f（x）单调递减，
即当x2＜1时，得到f（x2）＞f（1）=2即x2+1＞2，解得x2＞1，矛盾；
②当0＜f′（x）＜1时得到函数f（x）单调递增，
即当x2＞1时，得到f（x2）＞f（1）=2即x2+1＞2，解得x2＞1，所以x＞1或x＜-1
综上，不等式f（x2）＜x2+1的解集为{x|x＞1或x＜-1}
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力．
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