Question

（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．

（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（Ⅱ）﹣7

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．

【解析】
（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，

所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，

所以f（2）＞f（﹣2）．

因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，

又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，

因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．

故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，

即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．