Question

已知递增的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=32，a₃、a₄的等差中项为3a₂．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设b_n=

n

a2n-1

，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式、等差中项的性质，列出关于a₁、q的方程，求出a₁、q的值，代入a_n化简；
（2）由（1）和题意化简b_n，再利用错位相减法求出数列b_n的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设递增等比数列{a_n}首项、公比为a₁、q，且q＞0，
因为a₅=32，a₃、a₄的等差中项为3a₂，
所以

a1q4=32 6a1q=a1q2+a1q3

，解得a₁=2、q=2，
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

，
所以T_n=

1

21

+

2

23

+

3

25

+…+

n

22n-1

，①

1

4

T_n=

1

23

+

2

25

+

3

27

+…+

n

22n+1

，②
①-②得

3

4

T_n=

1

21

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2

3

-(

2

3

+

n

2

)•

1

22n

，
则T_n=

8

9

-

3n+4

9

•

1

22n-1

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，错位相减法求数列的前n项和，以及方程思想，考查化简能力．