Question

已知f（x）为一次函数，且f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,定积分,定积分在求面积中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），代入f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1由系数相等求得k，b的值，则函数解析式可求；
（2）由y=xf（x）=x（-2x+1）=-2x²+x，联立

y=-2x+1 y=-2x2+x

求得交点坐标，然后求函数xf（x）-f（x）的定积分可得直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积．

解答： 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
代入f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1，得kx+b=x

∫

2 0

(kx+b)dx+1，
即kx+b=x•(

1

2

kx2+bx)

|

2 0

+1=（2k+2b）x+1，
∴

k=2k+2b b=1

，解得：

k=-2 b=1

．
∴f（x）=-2x+1；
（2）y=xf（x）=x（-2x+1）=-2x²+x，
联立

y=-2x+1 y=-2x2+x

，解得x₁=

1

2

，x₂=1．
∴直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积：
S=

∫

1 1 2

(-2x2+3x-1)dx=(-

2

3

x3+

3

2

x2-x)

|

1 1 2

=

1

24

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用微积分基本定理求曲边梯形的面积，是中档题．