Question

f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）判断函数奇偶性时，先判断定义域是否关于原点对称，再根据定义若f（-x）=f（x），则函数为偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数为奇函数；
（2）用定义证明函数的单调性分四步：设自变量x₁，x₂∈D，x₁＜x₂--作差f（x₁）-f（x₂）--与0比较大小--做判断．若f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在D上为增函数；若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在D上为减函数．

解答： 解：（1）函数f（x）是奇函数．
∵函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，
f（-x）=

-x

1+x2

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断与证明，注意用定义证明单调性时，应严格按照步骤进行，注意变形．本题是一道基础题．