Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ．
（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F（与A，B两点不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明DC⊥面PAC，可得PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，从而证明tanα=cosβ．
（Ⅱ）解法一：取AD的中点Q，连PQ交AE于M，证明四边形AMNF为平行四边形，可得AE∥平面PCF，即可得出结论；解法二：建立直角坐标系，假设存在符合条件的点F（a，0，0）（0＜a＜1），则

CF

=(a-1，-1，0)，

CP

=(-1，-1，2)，

AE

=(0，1，1)共面，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：由题意，AC=

2

，CD=

2

，
又AD=2，∴AC⊥CD（1分）
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，∴DC⊥面PAC（2分）
∴α=∠DPC，
∴tanα=

DC

PC

=

2

6

=

3

3

（3分）
β=∠PCA，cosβ=

AC

PC

=

2

6

=

3

3

，（5分）
∴tanα=cosβ（6分）
（Ⅱ）解法一：取AD的中点Q，连PQ交AE于M，由△PAM与△QME相似得，

PM

MQ

=2，（7分）
在PC上取点N，使

PN

NC

=2，则MN∥QC，MN=

2

3

QC，（8分）
在AB上取点F使AF=

2

3

AB=

2

3

，
由于AB平行且等于QC，
故有AF平行且等于MN，（9分）
∴四边形AMNF为平行四边形，∴FN∥AE，（10分）
而FN?PFC，故有AE∥平面PCF，（11分）
∴在线段AB上存在一点F使得AE∥平面PCF，AF的长为

2

3

．（12分）
解法二：如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E为PD的中点，则E（0，1，1）（7分）
假设存在符合条件的点F（a，0，0）（0＜a＜1），则

CF

=(a-1，-1，0)，

CP

=(-1，-1，2)，

AE

=(0，1，1)共面，
故存在实数m，n，使得

CF

=m

CP

+n

AE

（9分）
即

a-1=-m -1=-m+n 0=2m+n

，故有

a= 2 3 m= 1 3 n=- 2 3

即F(

2

3

，0，0)，AF=

2

3

（11分）
即存在符合条件的点F，AF的长为

2

3

．（12分）

点评：本题考查线面平行，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键．