Question

【题目】如图，OH分别为锐角△ABC的外心垂心，AD⊥BC于D，G为AH的中点点K在线段GH上，且满足GK=HD，连结KO并延长交AB于点E.

（1） 证明：；

（2） 证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析

【解析】

（1）如图，连结BO并延长交圆O于点F，由O为△ABC的外心，知BF为圆O的直径，所以.

结合H为△ABC的垂心，得HC⊥AB，所以AF∥HC.同理，FC∥AH.

所以四边形AHCF为平行四边形，.

作OM⊥BC交BC于点M，则OM=FC.

因此，由G为AH的中点，GK=HD，

可得.

结合KD∥OM，得四边形OMDK为平行四边形.

所以OK∥MD，即EK∥BC.

（2）如图，作GN⊥AB于N.

由H为△ABC的垂心，知，

结合HD⊥BC，得△ANG∽△CDH.所以，∠NGA=∠DHC.

又GK=HD，AG=GH，因此，.

又∠NGK=180°-∠NGA=180°-∠DHC=∠GC，所以△NGK∽△GHC，故∠KNG=∠CGH.

由（1）知，GK⊥KE.因此，EKGN四点共圆.所以，

故.

所以GE⊥GC.