题目内容
【题目】已知椭圆:的短轴长为2,直线被椭圆截得的线段长为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点且斜率为的直线,与椭圆交于、两点时,作线段的垂直平分线分别交轴、轴于、,垂足为,使得与的面积相等,若存在,试求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,
【解析】
(1)由题意可知:,易得椭圆过点,从而求得的值,即可求得椭圆的方程;
(2)假设存在满足条件的直线,不妨设过的直线方程为:,将两个三角形的面积相等转化成关于的方程,解方程即可得答案;
(1)由题意可知:,因为椭圆过点,
所以,解得,
故所求椭圆的方程为.
(2)假设存在满足条件的直线,不妨设过的直线方程为:,
与椭圆联立方程组得:,消得:,
设线段中点,、,则由韦达定理得:
,,代入,
得点的纵坐标,
即.
所以线段的垂直平分线方程为:,
令,得;令,得,
所以的面积,
的面积,
因为与的面积相等,且,
所以,解得.
所以直线的方程为:.
练习册系列答案
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【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好