Question

9．（1）求定积分${∫}_{0}^{1}$（2x+e^x）dx的值；
（2）若关于x的不等式${x^2}+\frac{1}{x}-m≥0$对任意x$∈（{-∞，-\frac{1}{2}}]$恒成立，求的m取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定积分的计算法则计算即可，
（2）分类参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可

解答 解：（1）：${∫}_{0}^{1}$（2x+e^x）dx=（x²+e^x）|${\;}_{0}^{1}$=（1+e）-（0-1）=2+e，
（2）∵关于x的不等式${x^2}+\frac{1}{x}-m≥0$对任意x$∈（{-∞，-\frac{1}{2}}]$恒成立，
∴m≤x²+$\frac{1}{x}$在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上恒成立，
设f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上单调递减，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$，
∴m≤-$\frac{7}{4}$，
故m取值范围为（-∞，-$\frac{7}{4}$]

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．