Question

若△ABC的定点B，C的坐标分别为（-4，0），（4，0），AC、AB边上的中线长之和为15，则△ABC的重心G的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于10，因此G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．

解答： 解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE
∵BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=10（定值）＞8
因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=10，c=4
∴a=5，b=3，可得椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1
∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC
∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）
故答案为：

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．

点评：本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．