Question

20．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0），
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．

解答 解：（1）当a=1，b=-2时，
f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0
?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
?对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x，
即ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根，
?对任意实数b，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立，
?对任意实数b，b²-4ab+4a＞0恒成立，
?△′=（4a）²-4×4a＜0
?a²-a＜0
?0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理，属于中档题．