Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*），
（1）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范围；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）试证明：当q≥2时，对任意正整数n≥2，S_n不可能是数列{b_n}中的某一项．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式、不等式的解法即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（3）利用求和公式、作差方法即可得出．

解答 （1）解：由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*），
依题意得q^n-1+qⁿ＞qⁿ⁺¹，即q²-q-1＜0，
∴$0＜q＜\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
（2）解：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}+{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=\frac{{\frac{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}{{{a_{2n}}}}+\frac{{{a_{2n+1}}{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n+1}}}}}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=\frac{{\frac{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}{{{a_{2n}}}}q+\frac{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}{{{a_{2n+1}}}}q}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=q（q＞0）$，
且b₁=a₁+a₂=1+r＞0，
∴数列{b_n}是以1+r为首项，q为公比的等比数列，
∴${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n（1+r）}\\{\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{q=1}\\{q≠1}\end{array}$．
（3）证明：当q≥2时，${S_n}=\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}$，
∵${S_n}-{a_{n+1}}=\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}-（1+r）{q^n}=\frac{1+r}{1-q}[（1-{q^n}）-{q^n}（1-q）]$=$\frac{1+r}{1-q}[1+{q^n}（q-2）]＜0$，
∴S_n＜a_n+1，
又S_n=a₁+a₂+…+a_n，${a_n}＞0，n∈{N^*}$，∴S_n＞a_n，
故当q≥2时，对任意正整数n≥2，S_n不可能是数列{b_n}中的某一项．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、不等式的解法、等比数列的通项公式与求和公式、求和公式、作差方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．