Question

15．设常数a使方程$\sqrt{3}$sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得a=1，根据正弦函数的图象的对称性可得x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{π}{2}$=π，x₃+$\frac{π}{6}$=$\frac{13π}{6}$，由此求得 x₁+x₂+x₃的值．

解答 解：常数a使方程$\sqrt{3}$sinx+cosx=a，即 2sin（x+$\frac{π}{6}$）=a，即方程sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a}{2}$在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，
根据x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴a=1．
则根据正弦函数的图象的对称性可得x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{π}{2}$=π，x₃+$\frac{π}{6}$=$\frac{13π}{6}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$，x₃=2π，∴x₁+x₂+x₃=$\frac{8π}{3}$，
故答案为：$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．