Question

7．点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右支上一点，点M，N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的动点，则|PM|-|PN|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意求得∴|PM|_min=|PF₁|-r₁=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+r₂=|PF₂|+1，根据双曲线的定义，即可求得|PM|-|PN|的最小值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，a=4，b=3，c=5，
∴双曲线两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
恰好为圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圆心，半径分别是r₁=2，r₂=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∴|PM|_min=|PF₁|-r₁=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+r₂=|PF₂|+1，
∴|PM|_max=|PF₁|+r₁=|PF₁|+2，|PN|_min=|PF₂|-r₂=|PF₂|-1，
∴|PM|-|PN|_min=（|PF₁|-2）-（|PF₂|+1）=8-3=5，
故选C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．