Question

己知函数在处的切线斜率为.
（1）求实数的值及函数的单调区间；
（2）设，对使得恒成立，求正实数的取值范围；
（3）证明：.

Answer 1

（1）；的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）      （3）证明见解析

试题分析：（1）由及处的切线斜率为，可得，即可求得，故，由及即可求得的单调区间；
（2）由，，使得恒成立，只须，由（1）可求得，因为，故只须，即可求得.
（3）要证明,
只须证，即证，由（1）易知，当时，，为减函数，，即，故当时，，，进而再利用裂项放缩，即可证明结果成立.
试题解析：（1）由已知：，∴由题知，解得；
于是，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
即的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1），，即的最大值为，
由题知：对，，使得恒成立，
只须，
，
∴只须，解得．
（3）要证明．
只须证，
只须证．
由（1）当时，，为减函数，
，即，∴当时，，
，

．