Question

广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的．
（1）求测试中至少3个小组过关的概率；
（2）X表示测试中能够过关的组数，求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）根据相互对立事件的概率的乘法公式求出测试中至少3个小组过关的概率P；
（2）求出X的可能取值，从而求出X的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）测试中至少3个小组过关的概率为
P=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×0.6×0.5²×0.4+（1-0.6）×0.5²×0.4+0.6×0.5²×0.4
=0.09+0.12+0.04+0.06
=0.31；
（2）∵X的可能取值为0，1，2，3，4；
∴P（X=0）=（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）=0.06，
P（X=1）=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）+（1-0.6）×0.5²×0.4
=0.25，
P（X=4）=0.6×0.5²×0.4=0.06；
由（1）知，P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=0.31，
∴P（X=3）=0.31-0.06=0.25，
∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38，
∴EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06
=2．

点评：本题考查了相互对立事件的概率乘法公式的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题目．