Question

3．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（-3）=0，则不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0的解集是（　　）

• A． （-3，0）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析 由条件利用导数求得当x＜0时，$\frac{f（x）}{g（x）}$是增函数，故当x＞0时，$\frac{f（x）}{g（x）}$也是增函数，$\frac{f（x）}{g（x）}$的图象关于原点对称．再结合f（-3）=-f（3）=0，求得不等式的解集．

解答 解：∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴当x＜0时，$\frac{f（x）}{g（x）}$是增函数，故当x＞0时，$\frac{f（x）}{g（x）}$也是增函数．
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$为奇函数，$\frac{f（x）}{g（x）}$的图象关于原点对称，
函数$\frac{f（x）}{g（x）}$的单调性的示意图，如图所示：
∵f（-3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0，
可得x＜-3 或0＜x＜3，
故原不等式的解集为{x|x＜-3 或0＜x＜3 }，
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．