Question

11．已知f′（x）是函数f（x），（x∈R）的导数，满足f′（x）=-f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）-lnf³（x）的一个零点为x₀，则以下正确的是（　　）

• A． x₀∈（-4，-3）
• B． x₀∈（-3，-2）
• C． x₀∈（-2，-1）
• D． x₀∈（-1，0）

Answer 1

分析 求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，设h（x）=f（x）-g（x），求出h（0）和h（-1）的值，从而求出x₀的范围．

解答 解：设f（x）=ke^-x，
则f（x）满足f′（x）=-f（x），
而f（0）=2，∴k=2，
∴f（x）=2e^-x，
∴g（x）=3lnf（x）=3（-x+ln2）=-3x+3ln2，
设h（x）=f（x）-g（x），
则h（x）=2e^-x+3x-3ln2，
∴h（0）=2-3ln2＜0，h（-1）=2e-3-3ln2＞0，
即在（-1，0）上存在零点，
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．