Question

18．已知直线l：3x+4y+10=0，以C（2，1）为圆心的圆截直线l所得的弦长为6．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线m，使得以直线m被圆C截得的弦长AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆心C到直线l的距离d，半弦长以及圆的半径组成直角三角形，求出半径，即可写出圆C的方程；
（2）由圆C的方程，直线m的斜率为1，设出直线的斜截式方程，联立方程组，根据根与系数的关系，利用以AB为直径的圆过原点，构造关于b的方程，解方程即可求出所求的直线方程．

解答 解：（1）圆心C到直线l：3x+4y+10=0的距离为d=$\frac{|3×2+4×1+10|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=4，
又以C（2，1）为圆心的圆截直线l所得的弦长为6，
∴r²=4²+${（\frac{6}{2}）}^{2}$=25，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25；
（2）设直线m的方程为y=x+b，且直线m被圆C截得的弦AB的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去y得2x²+（2b-6）x+b²-2b-20=0；
由题意得：△=（2b-6）²-8（b²-2b-20）＞0，
解得：-1-5$\sqrt{2}$＜x＜-1+5$\sqrt{2}$，
由根与系数的关系得：x₁+x₂=3-b，x₁x₂=$\frac{1}{2}$b²-b-10；
又以AB为直径的圆过原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
化简得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
代人整理得b²+b-20=0，
解得b=-5或b=4，都符合题意；
故所求的直线方程为：x-y-5=0和x-y+4=0．

点评 本题考查了直线和圆的方程的应用问题，解题时所使用的“设成不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的关系时最常用的方法，是综合性题目．