Question

若a∈R，求函数f（x）=x+

a

x

分别在下列区间上的值域．
（1）（0，3]；
（2）[5，+∞）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的值域．

解答： 解：∵f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
（1）a＜0时，f（x）在定义域上递增，
x→0时，f（x）→-∞，x=3时，f（x）=

9+a

3

，
∴f（x）的值域是：（-∞，

9+a

3

]；
a=0时，f（x）=x，
∴f（x）的值域是：（0，3]；
0＜a＜9时，f（x）在（0，

a

）递减，在（

a

，3]递增，
x→0时，f（x）→+∞，x=

a

时，f（x）_min=f（

a

）=2

a

，
∴f（x）的值域是：[2

a

，+∞），
a≥9时，f（x）在（0，3]递减，
x→0时，f（x）→+∞，x=3时，f（x）_min=f（3）=

9+a

3

，
∴f（x）的值域是：[

9+a

3

，+∞）；
（2）a＜0时，f（x）在定义域上递增，
x=5时，f（x）=

25+a

5

，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是：[

25+a

5

，+∞）；
a=0时，f（x）=x，
∴f（x）的值域是：[5，+∞），
0＜a≤25时，f（x）在[5，+∞）递增，
∴f（x）的值域是：[

25+a

5

，+∞），
a＞25时，f（x）在[5，

a

）递减，在（

a

，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（

a

）=2

a

，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是：[2

a

，+∞）．

点评：本题考查了函数的值域问题，考查了函数的单调性问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．