Question

已知f（sinθ+cosθ）=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法求出函数的解析式，需要注意自变量的取值范围，

解答： 解：∵f（sinθ+cosθ）=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

=

2(sinθ+cosθ)

(sinθ+cosθ)2-1

设sinθ+cosθ=x，
∵sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），且sinθcosθ≠0，
即θ≠kπ，或θ≠

π

2

+kπ（k∈z）
∴-

2

≤x≤

2

，x≠±1
∴f（x）=

2x

x2-1

，x∈[-

2

，-1）∪（-1，1）∪（1，

2

]，
故答案为：

2x

x2-1

，x∈[-

2

，-1）∪（-1，1）∪（1，

2

]，

点评：本题主要考查了换元法求出函数的解析式，需要注意自变量的取值范围，属于基础题．