Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，PA=AD=4．
（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求二面角C-PD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥PA，CD⊥AC，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，PA=AD=4，
∴∠BCD=135°，∠BCA=45°，∴∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），D（0，4，0），
$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-4），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-4），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=4y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面PDA的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角C-PD-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PD-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．