Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，若对于正数k_n（n∈N^*），关于x的函数g（x）=f（x）-k_nx的零点个数恰好为2n+1个，则k${\;}_{1}^{2}$+k${\;}_{2}^{2}$+…+${\;}_{n}^{2}$=$\frac{n}{4n+4}$．

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数可化为函数f（x）与y=k_nx的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k_nx的图象，结合图象可得y=k_nx的图象与（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的图象相切，从而可得，从而解得k_n=，从而可得k_n²=，从而利用裂项求和法解得．

解答 解：函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数可化为
函数f（x）与y=k_nx的图象的交点的个数；
作函数f（x）与y=k_nx的图象如下，
，
∵关于x的函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数恰好为2n+1个，
∴y=k_nx的图象与y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的图象相切，
∴$\frac{-（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}=\frac{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}{x}$，∴x=$\frac{4n（n+1）}{2n+1}$，
∴k_n=$\frac{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，
∴k_n²=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴k₁²+k₂²+…+k_n²
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故答案为：$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了数列的性质与应用及裂项求和法的应用．