Question

6．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$，$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$，$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$，
依此类推可得：$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$，
其中m≤n，m，n∈N^*．则m+n的值为（　　）

• A． 24
• B． 23
• C． 32
• D． 28

Answer 1

分析 裂项相消，求出m，n，即可得出结论．

解答 解：由题意，$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{40}$
∵m，n∈N^*，
∴m=8，n=20或m=20，n=8
∴m+n=28．
故选：D．

点评 本题考查类比推理，考查裂项相消方法的运用，正确运用裂项相消是关键．