已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的一个焦点与短轴的两个端点的连线构成等边三角形.直线x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0与以椭圆C的右焦点F为圆心.以椭圆的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程,.且斜率为k的直线l与椭圆C相当于M.N两点①若线段MN的中点的横坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的一个焦点与短轴的两个端点的连线构成等边三角形，直线x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0与以椭圆C的右焦点F为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点D（0，2），且斜率为k的直线l与椭圆C相当于M、N两点
①若线段MN的中点的横坐标为1，求直线l的方程；
②若点F在以MN为直径的圆内部，求实数k的取值范围．

分析（1）由题意知，圆的方程为（x-c）²+y²=b²，c=$\sqrt{3}$b，圆心到直线x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0的距离$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）①设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合线段MN的中点的横坐标为1，求出k，即可求直线l的方程；
②若点F在以MN为直径的圆内部，$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜0$，即可求实数k的取值范围．

解答解：（1）由题意知，圆的方程为（x-c）²+y²=b²，c=$\sqrt{3}$b，
∴圆心到直线x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0的距离$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b，
∴b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$
①∵线段MN的中点的横坐标为1，
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$=2，
∴k=$\frac{-2±\sqrt{3}}{2}$，
∵k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴k=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，
∴直线l的方程y=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$x+2；
②若点F在以MN为直径的圆内部，则$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜0$，
∴（x₁-$\sqrt{3}$，y₁）•（x₂-$\sqrt{3}$，y₂）=（x₁-$\sqrt{3}$）（x₂-$\sqrt{3}$）+y₁y₂＜0
∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂+（2k-$\sqrt{3}$）（x₁+x₂）+7＜0
∴（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+（2k-$\sqrt{3}$）（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+7＜0
∴$\frac{-4\sqrt{3}-\sqrt{10}}{4}$＜k＜$\frac{-4\sqrt{3}+\sqrt{10}}{4}$．