Question

2．已知实数2，m，8构成等比数列，则圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由2，m，8构成一个等比数列，得到m=±4．当m=4时，圆锥曲线是椭圆；当m=-4时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．

解答 解：∵2，m，8构成一个等比数列，
∴m=±4．
当m=4时，圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$是椭圆，它的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当m=-4时，圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$是双曲线，它的离心率是$\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．