为响应新农村建设.某村计划对现有旧水渠进行改造.已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧.顶点为水渠最底端.渠宽为4m.渠深为2m．(1)考虑到农村耕地面积的减少.为节约水资源.要减少水渠的过水量.在原水渠内填土.使其成为横断面为等腰梯形的新水渠.新水渠底面与地面平行．问新水渠底宽为多少时.所填土的土方量最少?(2)考虑到新建果园的灌溉需求.要增大水渠的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

分析（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）．由已知点P（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形APQB面积，利用导数可得结论．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t，$\frac{1}{2}$t²），t＞0．则函数在点M的切线方程为y-$\frac{1}{2}$t²=t（x-t），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为$\sqrt{2}$m时，可使用权所挖土的土方量最少．

解答解：（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）．
由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，
∴抛物线的方程为x²=2y，
设A（t，$\frac{1}{2}$t²），则此时梯形APQB面积为S（t）=$\frac{1}{2}$（2t+4）（2-$\frac{1}{2}$t²），
∴S′（t）=-$\frac{3}{2}{t}^{2}-2t+2=0$，t=$\frac{2}{3}$，
t∈（0，$\frac{2}{3}$），S′（t）＞0，t∈（$\frac{2}{3}$，2），S′（t）＜0
∴t=$\frac{2}{3}$，S_max（t）=$\frac{128}{27}$，
∴新水渠底宽为$\frac{4}{3}$m时，所填土的土方量最少；
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，

设切点M（t，$\frac{1}{2}$t²），t＞0．
则函数在点M的切线方程为y-$\frac{1}{2}$t²=t（x-t），
令y=0，y=2，得A（$\frac{1}{2}$t，0），B（$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}$，2），
∴此时梯形OABC的面积为S（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$）•2=t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=$\sqrt{2}$时，等号成立，
此时|OA|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴设计改挖后的水渠的底宽为$\sqrt{2}$m时，土方量最少．