Question

4．已知函数f（x）=x³-x²+x+2．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求经过点A（1，3）的曲线f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）设切点为（m，n），代入f（x），求得切线的斜率和方程，代入点A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-x²+x+2的导数为f′（x）=3x²-2x+1，
可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3-2+1=2，
切点为（1，3），
即有曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=2（x-1），
即为2x-y+1=0；
（2）设切点为（m，n），可得n=m³-m²+m+2，
由f（x）的导数f′（x）=3x²-2x+1，
可得切线的斜率为3m²-2m+1，
切线的方程为y-（m³-m²+m+2）=（3m²-2m+1）（x-m），
由切线经过点（1，3），可得
3-（m³-m²+m+2）=（3m²-2m+1）（1-m），
化为m（m-1）²=0，解得m=0或1．
则切线的方程为y-2=x或y-3=2（x-1），
即为y=x+2或y=2x+1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，正确求导是解题的关键，属于基础题和易错题．