Question

已知函数f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定义在R上的奇函数，
（1）若m＞0，求f（x）在（-m，m）上递增的充要条件；
（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）运用奇偶性求出m的值，再运用导数判断，（2）构造函数g（x）=sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2x+

2

，
利用任意的实数θ和正实数x，得g（x）∈[

2

-1，

2

+1]，即f（x）≤

2

-1，求解f（x）最大值即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即n=0，
f（x）=

mx

x2+2

，
f′（x）=

m(2-x2)

(x2+2)2

≥0，m＞0
即2-x²≥0，[-

2

，

2

]
∵f（x）在（-m，m）上递增，
∴（-m，m）⊆[-

2

，

2

]
f（x）在（-m，m）上递增的充要条件是m=

2

（2）令g（x）=sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2x+

2

，
∵任意的实数θ和正实数x，∴g（x）∈[

2

-1，

2

+1]，
∵若f（x）≤sinθcosθ+cos²x+

2

-

1

2

对任意的实数θ和正实数x恒成立，
∴f（x）≤

2

-1，
∵f（x）=

m

x+ 2 x

，
根据均值不等式可得；-

m

2

≤f（x）≤

m

2

，
所以只需

m

2

≤

2

-1，m≤2-

2

实数m的取值范围：m≤2-

2

点评：本题考查了函数的性质，不等式在求解值域中的应用，运用恒成立问题和最值的关系求解，难度较大．