题目内容

某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：
t （h）0：003：006：009：0012：0015：00
y （m）9.912.910.07.110.013.0
（Ⅰ）经长时间的观察，水深y与t的关系可以用正弦型函数拟合，求出拟合函数的表达式；
（Ⅱ）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需时间）；
（Ⅲ）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？
考点：在实际问题中建立三角函数模型
专题：应用题,三角函数的求值
分析：（Ⅰ）根据数据，
A+h=13
-A+h=7
，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=
π
6
将点（3，13）代入可得ϕ=0，从而可求函数的表达式；
（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin
π
6
t+10≥11.5，从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；
（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），若使船舶安全，则10.5-0.5（x-3）≥3sin
π
6
x+10，从而可得3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．
解答： 解：（1Ⅰ）根据数据，
A+h=13
-A+h=7
，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=
π
6
，
∴y=3sin（
π
6
x+ϕ）+10
将点（3，13）代入可得ϕ=0
∴函数的表达式为y=3sin
π
6
t+10（0≤t≤24）
（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，
即3sin
π
6
t+10≥11.5，
∴sin
π
6
t≥0.5，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），
这时水深y=3sin
π
6
x+10，
若使船舶安全，则10.5-0.5（x-3）≥3sin
π
6
x+10，
∴3≤x≤7，
即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．
点评：本题以表格数据为载体，考查三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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1
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1
2
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1
3
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1
2
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1
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．

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