Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；    
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）确定出EF∥AP，运用判断定理可证明．（2）抓住CD⊥AD，CD⊥面PAD，运用面面垂直的定理可证明．（3确定）PO为四棱锥P-ABCD的高．
求出PO=1，运用体积公式V=

1

3

×PO×AB×AD求解即可．

解答： 证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必过F，
又E是PC中点，所以EF∥AP，
∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，
∴EF∥面PAD．
证明：（2）∵平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，
面PAD∩面ABCD=AD
又AD?面PAD，∴CD⊥面PAD，
又CD在面PCD内，∴面PCD⊥面PAD．
解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰
直角三角形，所以PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P-ABCD的高．
∵AD=2，∴PO=1，
∴V=

1

3

×PO×AB×AD=

2

3

．

点评：本题考查了空间直线，平面的垂直，平行问题，求解几何体的体积，属于中档题，关键是运用好定理，抓住条件．