Question

已知抛物线C：y²=2x和圆N：（x+2）²+y²=8，直线l与圆N相切，且与抛物线C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，则是否存在直线l使得以AB为直径的圆恰好过点M？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由圆N：（x+2）²+y²=8，知圆心N为（-2，0），半径r=2

2

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知

|-2+m|

2

=2

2

，解得直线l的方程为y=x-2，由此能求出弦长|AB|．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得

|-2k+m|

1+k2

=2

2

，解得此时直线l的方程为y=-x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2

2

-2，则得

MA

⊥

MB

，不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2．

解答： 解：（1）∵圆N：（x+2）²+y²=8，
∴圆心N为（-2，0），半径r=2

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x-y+m=0，
∵直线l是圆N的切线，∴

|-2+m|

2

=2

2

，
解得m=-2，或m=6（舍去）
此时直线l的方程为y=x-2，
代入抛物线方程，消去x得y²-2y-4=0，
∴△=（-2）²+16=20＞0，
y₁+y₂=2，y₁•y₂=4，
∴|y₁-y₂|=20，
∴弦长|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=2

10

．
（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0（k≠0），
∵直线l是圆N的切线，∴

|-2k+m|

1+k2

=2

2

，
得m²-4k²-4mk-8=0，①
由直线代入抛物线方程，消去x得ky²-2y+2m=0，
∴△=4-4k×2m＞0，即km＜

1

2

且k≠0，
y₁+y₂=

2

k

，y₁•y₂=

2m

k

，
∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，-2），
∴

MA

=（x₁，y₁+2），

MB

=（x₂，y₂+2），
∵

MA

⊥

MB

，∴x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0，
将A，B在直线y=kx+m上代入，y₁+y₂=

2

k

，y₁•y₂=

2m

k

代入化简，得m²+4k²+2mk+4k=0，②
①+②得2m²-2mk+4k-8=0，
即（m-2）（m-k+2）=0，
解得m=2，或m=k-2．
当m=2时，代入①，解得k=-1，满足条件km＜

1

2

，且k≠0，
此时直线l的方程为y=-x+2．
当m=k-2时，代入①整理，得7k²-4k+4=0，无解．
（ii）当直线l的斜率不存在时，
∵直线l是圆N的切线，∴l的方程为x=2

2

-2．
则得x₁x₂=4（3-2

2

），y₁+y₂=0，y₁•y₂=4（1-

2

），
由①得：

MA

•

MB

=x₁x₂+y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=20-12

2

≠0，
当直线l的斜率不存在时，

MA

⊥

MB

不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2．

点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．