题目内容

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令 $数学公式$ （n∈N^），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

解：（1）由题意可得，当n≥2时，有 $\text{[math]}$ ，
两式相减，得 a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2）
所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，
则只需 $\text{[math]}$ ，从而得出t=1．
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，①（7分）
上式两边乘以3得 $\text{[math]}$ ②，
①-②得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴c₁c₂=-1＜0．
∵ $\text{[math]}$ ，∴数列{c_n}递增．
由 $\text{[math]}$ ，得当n≥2时，c_n＞0．
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．
分析：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有 $\text{[math]}$ ，化简得a_n+1=3a_n （n≥2），要使n≥1时{a_n}是等比数列，只需 $\text{[math]}$ ，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，故有 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）由条件求得 $\text{[math]}$ ，计算可得c₁c₂=-1＜0，再由c_n+1-c_n＞0可得，数列{c_n}递增，由 $\text{[math]}$ ，得当n≥2时，c_n＞0，由此求得数列{c_n}的“积异号数”为1．
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．