题目内容
在平面四边形ABCD中，记
=
，
=
，
=
，
=
，证明：若
•
=
•
=
•
=
•
，则四边形ABCD是矩形．
| AB |
| a |
| BC |
| b |
| CD |
| c |
| DA |
| d |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| d |
| d |
| a |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由
•
=
•
，可得
•(
-
)=0，可得
⊥(
-
)，或
=
．由题意
≠
．于是
⊥(
-
)，同理可得
⊥(
-
)．于是
∥
．同理可得
∥
．即可得出四边形ABCD是矩形．
| a |
| b |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
| a |
| c |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
| d |
| a |
| c |
| b |
| d |
| a |
| c |
解答：
证明：∵
•
=
•
，∴
•(
-
)=0，∴
⊥(
-
)，或
=
．由题意
≠
．因此
⊥(
-
)，
同理由
•
=
•
，可得
⊥(
-
)．∴
∥
．
同理可得
∥
．
即AB∥CD，BC∥AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又
⊥(
-
)，
∴BC⊥AB（或CD）．
∴四边形ABCD是矩形．
| a |
| b |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
| a |
| c |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
同理由
| c |
| d |
| d |
| a |
| d |
| a |
| c |
| b |
| d |
同理可得
| a |
| c |
即AB∥CD，BC∥AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又
| b |
| a |
| c |
∴BC⊥AB（或CD）．
∴四边形ABCD是矩形．
点评：本题考查了向量垂直于数量积的关系、矩形的判定，考查了推理能力，属于难题．
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