Question

11．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：$\frac{\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 本题宜用分析法证．欲证要证$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，平方后寻求使之成立的充分条件即可．

解答 证明：因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，
要证明原不等式成立，只需证明$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，即证b²-ac＜3a²，
即证b²+a（a+b）＜3a²，即证（a-b）（2a+b）＞0，
即证（a-b）（a-c）＞0．
∵a＞b＞c，∴（a-b）•（a-c）＞0成立．
∴原不等式成立．

点评 当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法．