题目内容

20.已知椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为(  )
A.10B.15C.4D.5

分析 根据椭圆的方程,算出它的焦点坐标为B(3,0)和B'(-3,0).因此连接PB'、AB',根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a-|PB'|)=10+(|PA|-|PB'|).再由三角形两边之差小于第三边,得到当且仅当点P在AB'延长线上时,|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值,从而得到本题答案.

解答 解:∵椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1,
∴焦点坐标为B(3,0)和B'(-3,0)
连接PB'、AB',根据椭圆的定义,得|PB|+|PB'|=2a=10,
可得|PB|=10-|PB'|,
因此,|PA|+|PB|=|PA|+(10-|PB'|)=10+(|PA|-|PB'|)
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|,
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+$\sqrt{(1+3)^{2}+(3-0)^{2}}$=10+5=15,
当且仅当点P在AB'延长线上时,等号成立.
综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为15.
故选B.

点评 本题给出椭圆内部一点A,求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值,着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.

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