Question

若不等式sin²x+2acosx≤a²+3a-2（a＜0）对一切x∈R恒成立，则实数a的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：化正弦为余弦，然后换元，对a分类求出a的范围即可．

解答： 解∵不等式sin²x+2acosx≤a²+3a-2（a＜0）对一切x∈R恒成立，
∴1-cos²x+2acosx≤a²+3a-2，
∴cos²x-2acosx+a²+3a-3≥0对一切x∈R恒成立，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
则t²-2at+a²+3a-3≥0，对一切t∈[-1，1]恒成立，
设函数f（t）=t²-2at+a²+3a-3，
则对称轴x=a＜0，
当-1＜a＜0时，

f(1)≥0 f(-1)≥0

即

a2+a-2≥0 a2+5a-2≥0

解集为空集，
当a≤-1时，f（-1）=a²+5a-2≥0，
解得a≤

-5- 33

2

，
故a的最大值为

-5- 33

2

，
故答案为：

-5- 33

2

，

点评：本题考查了三角函数的值域，考查了利用换元法求二次函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．