Question

3．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦点与实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，与双曲线交于M，N两点，若M，N为线段AB的两个三等分点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，解方程组求出A，B，M，N的坐标，结合三等分的关系，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
当x=c时，y=±$\frac{b}{a}$•c=$\frac{bc}{a}$，即A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
当x=c，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），|MN|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∵M，N为线段AB的两个三等分点，
∴|MN|=$\frac{1}{3}$|AB|，
即$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2bc}{a}$，即c=3b，
∴c²=9b²=9（c²-a²），
即9a²=8c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{9}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线方程和离心率的计算，根据条件建立方程关系求出交点坐标，建立a，c的关系是解决本题的关键．