题目内容
已知数列{an}的通项公式an=logn+1（n+2）（n∈N+），记Jn=a1•a2•a3•…•an为数列{an}的前n项积．定义能使Jn为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数和为（ ）
| A、2026 | B、2046 |
| C、1024 | D、1022 |
考点：数列的应用
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…ak为整数，得k=2n-2，由区间[1，2014]确定n的取值，求出在区间（1，2014）内所有的劣数和．
解答：
解：∵an=logn+1（n+2），（n∈N*），
∴a1•a2•a3…ak=
•
•…•
=log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2n-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在区间（1，2014）内所有的劣数和：
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=
-2×9=2026．
故选：A．
∴a1•a2•a3…ak=
| lg3 |
| lg2 |
| lg4 |
| lg3 |
| lg(k+2) |
| lgk+1 |
又∵a1•a2•a3…ak为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2n-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在区间（1，2014）内所有的劣数和：
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=
| 22-211 |
| 1-2 |
故选：A．
点评：本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，是易错题目．
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