Question

若不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]内恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、0＜a≤

  1

  16

• B、0＜a＜

  1

  16

• C、

  1

  16

  ≤a＜1
• D、

  1

  16

  ＜a＜1

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：可判断a＞1时不成立；当0＜a＜1时，可判断x²-log_ax在（0，

1

2

]上递增，由单调性可得(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解出即可．

解答： 解：当a＞1时，∵x∈（0，

1

2

]，∴log_ax＜0，-log_ax＞0，
又x²＞0，∴x²-log_ax＞0，不合题意；
当0＜a＜1时，log_ax在（0，

1

2

]上递减，-log_ax在（0，

1

2

]上递增，
又x²在（0，

1

2

]上递增，
∴x²-log_ax在（0，

1

2

]上递增，
∵不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]内恒成立，
∴(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解得

1

16

≤a＜1，
故选C．

点评：该题考查二次函数、对数函数的单调性，考查函数恒成立，考查转化思想．