Question

证明：对任意大于1的正整数n，有

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＜

1

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,综合法

分析：利用裂项法求出左边的和，即可证明结论．

解答： 证明：∵

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴有

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

，
∵n＞1，
∴

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

，
∴

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＜

1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查裂项法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．