Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=

3

b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把b+c=4代入求出bc=2，联立求出b与c的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）由正弦定理及2asinB=

3

b得：2sinAsinB=

3

sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

2

，
又A是锐角，∴A=

π

3

；
（2）由a=2，b+c=4，cosA=

1

2

及余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即

b2+c2-4

2bc

=

1

2

，
整理得：b²+c²-4=bc，即（b+c）²-4=3bc，
化简得：bc=2，
解得：b=c=2，
则△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．