Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA=3bsinC，b=1，cosC=

2

3

．
（Ⅰ）求cos（2C+

π

6

）的值；
（Ⅱ）求c的值及△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosC的值求出sinC的值，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2C与cos2C的值，把cos（2C+

π

6

）利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，把b=1代入求出a的值，利用余弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosC=

2

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
∴sin2C=2sinCcosC=

4 5

9

，cos2C=2cos²C-1=-

1

9

，
则cos（2C+

π

6

）=

3

2

cos2C-

1

2

sin2C=-

1

9

×

3

2

-

1

2

×

4 5

9

=-

4 5 + 3

18

；
（Ⅱ）由正弦定理及csinA=3bsinC，得ca=3bc，即a=3b=3，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=9+1-4=6，即c=

6

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×3×1×

5

3

=

5

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．