Question

19．已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）设若点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函数y=f（x+$\frac{π}{6}$）的图象上，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和与差的正弦函数对已知函数关系式进行化简得到f（x）=sin（2x+φ），所以结合正弦函数的性质来求最小正周期和值域；
（2）把（ $\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）代入函数y=f（x+$\frac{π}{6}$），根据0＜φ＜π求φ的值．

解答 （1）解：∵f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），即f（x）=sin（2x+φ），
∴函数f（x）的最小正周期为π，值域为[-1，1]；
（2）解：∵函数y=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
又点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函数y=f（x+$\frac{π}{6}$）的图象上，
∴sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜φ＜π，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$+φ＜$\frac{5π}{3}$，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．

点评 本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．