Question

4．已知圆C经过A（1，3），B（-1，1）两点，且圆心在直线y=2x-1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得弦长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心坐标为（a，2a-1），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．

解答 解：（1）设圆C的圆心坐标为（a，2a-1），
依题意，有（a-1）²+（2a-4）²=（a+1）²+（2a-2）²，
解得a=1，（2分）
所以r²=（1-1）²+（2-4）²=4，（4分）
所以圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=4．（5分）
（2）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，
所以直线x=2符合题意．（6分）
设直线l方程为y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
则$\frac{|k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{4}{3}$，
所以直线l的方程为y+2=-$\frac{4}{3}$（x-2），即4x+3y-2=0．（9分）
综上，直线l的方程为x-2=0或4x+3y-2=0．（10分）

点评 本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．