Question

求和：S_n=

1

a

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

（a≠0）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．当a≠1时，S_n=

1

a

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，利用错位相减求和法求解．

解答： 解：当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
当a≠1时，S_n=

1

a

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，①

1

a

Sn=

1

a2

+

2

a3

+

3

a4

+…+

n

an+1

，②
①-②，得：(1-

1

a

)Sn=

1

a

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

1 a (1- 1 an )

1- 1 a

-

n

an+1

，
∴S_n=

1 a (1- 1 an )

(1- 1 a )2

-

n an+1

1- 1 a

．
∴Sn=

n(n+1) 2 ，a=1 1 a (1- 1 an ) (1- 1 a )2 - n an+1 1- 1 a ，a≠1

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．