题目内容
已知抛物线的方程为y=ax2-1，直线l的方程为y=
，点A（3，-1）关于直线l的对称点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知P（
，1），点F（0，-
）是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标；
（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与x轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
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（1）求抛物线的方程；
（2）已知P（
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（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与x轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件求出点A（3，-1）关于直线l的对称点为坐标A′（1，3），点A′（1，3）代入y=ax2-1，解得a=4，由此能求出抛物线的方程．
（2）由F（0，-
）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），求出抛物线的准线为x=-
，由此能求出|MP|+|MF|的最小值及此时点M的坐标．
（3）BC所在的直线经过定点（-
，
）．令y=4x2-1=0，得D点的坐标为（
，0），利用直线垂直的性质和直线斜率的关系能求出直线BC的方程为即y=2（x1+x2）（2x+1）+
，由此能证明直线BC经过定点（-
，
）．
（2）由F（0，-
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（3）BC所在的直线经过定点（-
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解答：
解：（1）设点A（3，-1）关于直线l的对称点为坐标为A′（x，y），
则
，解得
，（3分）
把点A′（1，3）代入y=ax2-1，解得a=4，
∴抛物线的方程为y=4x2-1．（4分）
（2）∵F（0，-
）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），
∴抛物线的准线为x=-
，（5分）
过点M作准线的垂线，垂足为A，由抛物线的定义知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，（7分）
即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
|MP|+|MF|取最小值，
∴（|MP|+|MF|）min=1-（-
）=
，
这时点M的坐标为（
，0）．（9分）
（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为（-
，
），
令y=4x2-1=0，得D点的坐标为（
，0），
设B（x1，y1），C（x2，y2），x1≠x2，
则kBC=
=
=4（x1+x2），（10分）
kBD=4(x1+
)，kCD=4(x2+
)，（11分）
∵BD⊥CD，∴kBD•kCD=16(x1+
)(x2+
)=-1，
即x1x2=-
-
(x1+x2)，
直线BC的方程为y-y1=4（x1+x2）（x-x1），
即y=4（x1+x2）x-4x1 x2-1=2（x1+x2）（2x+1）+
，（13分）
∴直线BC经过定点（-
，
）．（14分）
则
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把点A′（1，3）代入y=ax2-1，解得a=4，
∴抛物线的方程为y=4x2-1．（4分）
（2）∵F（0，-
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∴抛物线的准线为x=-
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| 16 |
过点M作准线的垂线，垂足为A，由抛物线的定义知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，（7分）
即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，
|MP|+|MF|取最小值，
∴（|MP|+|MF|）min=1-（-
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这时点M的坐标为（
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（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为（-
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令y=4x2-1=0，得D点的坐标为（
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设B（x1，y1），C（x2，y2），x1≠x2，
则kBC=
| y 1-y2 |
| x1-x2 |
| 4(x12-x22) |
| x1-x2 |
kBD=4(x1+
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∵BD⊥CD，∴kBD•kCD=16(x1+
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即x1x2=-
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直线BC的方程为y-y1=4（x1+x2）（x-x1），
即y=4（x1+x2）x-4x1 x2-1=2（x1+x2）（2x+1）+
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∴直线BC经过定点（-
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点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两条线段和最小值的求法，考查直线过定点的判断与证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．
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